latex常用手册

Sat, 06 Sep 2025 19:57:11 +0800

常用符号与表达式

根式：$\sqrt[n]{x}$
1

\sqrt[n]{x}
分数：$\frac{x}{y}$
1

\frac{x}{y}
上下标：$x_i^2, a_{ij}^{kl}, \Gamma_{n}^{k}$
1

x_i^2, a_{ij}^{kl}, \Gamma_{n}^{k}
文本：$\textit{f}_a^b$
1

\textit{f}_a^b
算子与常见符号：$\nabla, \Delta, \mathrm{i}, \approx, \overline{A}$
1

\nabla, \Delta, \mathrm{i}, \approx, \overline{A}
希腊字母：$\alpha, \beta, \gamma, \eta, \xi, \phi, \psi, \omega, \theta, \lambda$
1

\alpha, \beta, \gamma, \eta, \xi, \phi, \psi, \omega, \theta, \lambda
向量与矩阵运算：$\mathbf{a} \times \mathbf{b},\ \mathbf{A + B = C}$
1 2

\mathbf{a} \times \mathbf{b} \mathbf{A + B = C}

关系与逻辑

不等式：$a \le b,\ a \ge b,\ a \neq b,\ a \ll b,\ a \gg b$

1

a \le b,\ a \ge b,\ a \neq b,\ a \ll b,\ a \gg b

蕴含与等价：$p \implies q,\ p \iff q$
1

p \implies q,\ p \iff q
逻辑运算：$p \land q,\ p \lor q$
1

p \land q,\ p \lor q
全称与存在：$\forall x,\ \exists x$
1

\forall x,\ \exists x
无穷：$\infty$
1

\infty

集合与算子

集合表示：$A = \{ x \mid x > 0 \}$
1

A = \{ x \mid x > 0 \}
元素关系：$a \in A,\ b \notin A$
1

a \in A,\ b \notin A
包含关系：$A \subset B,\ A \subsetneq B,\ B \supset A$
1

A \subset B,\ A \subsetneq B,\ B \supset A
常见集合：$\mathbb{R}$
1

\mathbb{R}

矩阵与行列式

基本矩阵：
$$ \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix} $$
```
\begin{matrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{matrix}
```
常用矩阵环境：
- matrix：无括号
- pmatrix：圆括号
- bmatrix：方括号
- Bmatrix：花括号
- vmatrix：行列式竖线
- Vmatrix：双竖线

雅可比行列式：

$$ \frac{\partial (f,g)}{\partial (x,y)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y} \end{vmatrix} $$

1
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\frac{\partial (f,g)}{\partial (x,y)} =
\begin{vmatrix}
\frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} \\
\frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y}
\end{vmatrix}

微积分与导数

定积分：$\int_{a}^{b} f(x) \, dx$
1

\int_{a}^{b} f(x) \, dx
极限：$\lim_{x \to 0} f(x)$
1

\lim_{x \to 0} f(x)
偏导数：$\frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$
1

\frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}

分段函数与条件表达

$$ f(x)= \begin{cases} x^2, & x>0 \\ 0, & x=0 \\ -x^2, & x<0 \end{cases} $$

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$$
f(x)=
\begin{cases}
 x^2,      & x>0 \\
 0,        & x=0 \\
 -x^2,     & x<0
\end{cases}
$$

带条件的箭头：$A \xrightarrow[\text{下方条件}]{\text{上方条件}} B$
1

A \xrightarrow[\text{下方条件}]{\text{上方条件}} B

优化与极值

目标函数：

$$ \min_{\substack{x_1, x_2}} \left( x_1 + x_2 + P(x_1^2 + x_2^2 - 1) \right) $$

1
2
3


$$
\min_{\substack{x_1, x_2}} \left( x_1 + x_2 + P(x_1^2 + x_2^2 - 1) \right)
$$

对偶问题：
$$ \underset{x_1, x_2}{\text{Min.}}\, x_1 + x_2 + \underset{\lambda \ge 0}{\text{Max.}}\, \lambda(x_1^2 + x_2^2 - 1) $$
1

\underset{x_1, x_2}{\text{Min.}}\, x_1 + x_2 + \underset{\lambda \ge 0}{\text{Max.}}\, \lambda(x_1^2 + x_2^2 - 1)
KKT 梯度条件：
$$ \frac{\partial L(x,\lambda^*,\mu^*)}{\partial x}\Big|_{x=x^*} = \nabla f(x^*) + \sum_{i=1}^{m} \lambda_i^* \nabla g_i(x^*) + \sum_{j=1}^{p} \mu_j^* \nabla h_j(x^*) = 0 $$
1 2

\frac{\partial L(x,\lambda^*,\mu^*)}{\partial x}\Big|_{x=x^*} = \nabla f(x^*) + \sum_{i=1}^{m} \lambda_i^* \nabla g_i(x^*) + \sum_{j=1}^{p} \mu_j^* \nabla h_j(x^*) = 0
矩阵正定性：
- $A \succ 0$：严格正定
```
A \succ 0
```
- $A \succeq 0$：半正定
```
A \succeq 0
```
- $A \prec 0$：严格负定
```
A \prec 0
```
- $A \preceq 0$：半负定
```
A \preceq 0
```

常用数学公式

二次公式：
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
```
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
```
勾股定理：
$$ a^2 + b^2 = c^2 $$
```
a^2 + b^2 = c^2
```
完全平方：
$$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$
```
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
```
三角恒等式：
$$ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $$
```
\sin^2 x + \cos^2 x = 1
```
幂函数导数：
$$ \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} $$
```
\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}
```
积分基本公式：
$$ \int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a) $$
```
\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)
```
欧拉公式：
$$ e^{\mathrm{i}\theta} = \cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta $$
```
e^{\mathrm{i}\theta} = \cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta
```
指数函数展开：
$$ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $$
```
e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}
```

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